מתמטיקה בכיף 1/2020
נושאים שנרצה להציג
להלן רשימת הנושאים שאותם נשאף להציג. נרצה לדון בהם בפורמט שווה לכל נפש סקרנית בסיוע המרחב האינטרנטי ומתוך כוונה להביא חוויות של הנאה ויופי תוך כדי הרחבת הדעת❣️
סדר הצגת הנושאים כאן אינו מחייב ולעיתים גם נשלב אותם אלה באלה.
◼️ המתמטיקה – שפת סימנים אוניברסלית.
◼️ אפס, אינסוף, ומה שביניהם.
◼️ קסם המספרים הראשוניים.
◼️ יופי והרמוניה: סימטריה, חיתוך הזהב, מספרי פיבונצ'י.
◼️ סדר מול כאוס – פרקטלים, fractals.
◼️ אקראיות וסיבתיות, הסתברות וסטטיסטיקה , משחקי מזל ותעתועים.
◼️ שעשועים מתמטיים : משחקים וחידות.
◼️ אמנות, יופי ומתמטיקה.
◼️ לוגיקה מתמטית – שוויון, אמת ושקר ופרדוקסים.
◼️ היסטוריה של המתמטיקה.
◼️ חיי מתמטיקאים דגולים.
◼️ תפיסה וחשיבה מתמטית; הקניית אופני חשיבה מעודדי צמיחה.
סרטון 1: מהי מתמטיקה?
סרטון מונפש קצרצר שממחיש את נוכחות המתמטיקה בכל תחום של חיינו. נטען כאן שחרדת המתמטיקה, math anxiety, נגרמת גם בגלל שנעשה שימוש מוגזם בהפשטה – abstraction במהלך הוראתה לתלמידים. התרופה שעליה ממליצים כאן בחום היא החזרת האינטואיציה המתמטית לליבת ההוראה. יש כתוביות אוטומטיות באנגלית.
סרטון 2: מפת התמצאות במקצועות המתמטיקה
מדריך להכרת המגוון העשיר של ענפי המתמטיקה השונים. זוהי סקירה כללית ביותר של השפע והמגוון המיועדת לאפשר התמצאות והיכרות ראשונית. כל אחד מהנושאים המוצגים מהווה תחום ידע מתמטי עמוק בפני עצמו, אבל קשור ומשפיע הדדית גם על תחומים אחרים.
לפגישה מקדימה כזאת יש תמיד ערך חיובי. מומלץ לצפות בסרטון יותר מפעם אחת.
יש לסרטון תרגום לעברית.
ולבסוף – קינוח מהנה עם הבטחה לבאות.
סרטון 3 : היופי מסב לנו שמחה
בסרטון נעשה שימוש במושגים מתחום המתמטיקה לשם תיאור וניתוח חוויות היופי : צורות ואפיונן, סימטריות, פרופורציות, זיהוי תבניות חוזרות או כאלה המשתנות על פי חוקיות מפתיעה ועוד. אפשר להיווכח שמתמטיקה מספקת ארגז כלים גדוש ליצירת חוויות של יופי ושמחה. לסרטון יש תרגום לעברית.
******************************************************************************************
מתמטיקה בכיף 2/2020
על האינסוף –
הימים הנוראים מזמינים לערוך דין וחשבון, גם לנפש ולרוח. לכבודם בחרנו לעסוק תחילה בנושא האינסוף.
מושג האינסוף שסימנו ♾️ הוא יציר מופשט של מוחנו. סימון ה 8 ההפוך על צידו מסמל אפשרות לחזרה מעגלית-נצחית על אותו מהלך, בלי ציון התחלה וסוף. ככלל, רעיון האינסוף מחייב יציאה מדרך החשיבה שהורגלנו בה. איינשטיין אמר שהדמיון חשוב מהידע, משום שבעוד שהידע האנושי מוגבל, היכולת לדמיין היא אינסופית. גם יכולתנו ליצור היא בלתי מוגבלת.
משחר ההיסטוריה אהב האדם לדמיין וליצור וניסה לתאר לעצמו את מה שמעבר לידוע ולמוכר. הדמיון והיצירתיות שלנו מאפשרים לנו למתוח את הגבולות אל מעבר לטווח ראייתנו והכרתנו. כך גם הגיע רעיון האינסוף וקבע את מקומו בתודעתנו הסופית.
אינסוף מייצג מידה של קבוצה שאינה סופית, דהיינו, כזו שמספר חבריה לא ניתן למנייה והכלה במספר סופי של צעדים. תפיסת האינסוף קיימת אצל כולנו. גם ילדים צעירים יודעים שעבור כל מספר נתון, N, קיים מספר עוקב, N+1, וכך שוב ושוב "עד לאינסוף".
לכולנו יכולת מולדת ליצור משפטים ארוכים ככל שנרצה על ידי הוספת מילים ושרשור-הדבקה של משפטים קצרים יותר. אנחנו חוצים חזור ושוב קטעים משורטטים ככל שחוד העיפרון מאפשר וכו'. בכל זאת, מבחינה מעשית ברור שכל תהליך מתמשך כזה מסתיים תמיד אחרי מספר סופי של צעדים עקב מגבלות החומר וסופיות קיומנו.
המוח שלנו, הוא זה שמאפשר לפרוץ את מסגרת הסופיות כדי ליצור מושגים מופשטים כגון האינסוף ובדומה לו גם תהליכים של שאיפה לאינסוף, בין אם המדובר בגדלים מתעצמים והולכים או להפך, דווקא בכאלה שהולכים ומצטמצמים.
סרטון 1 . האם אפשר להבין מהו אינסוף?
לשאלה באם היקום והזמן עצמם הם סופיים או אינסופיים אין מענה מושכל. נושא זה נדון בסרטון המרתק הבא. לצד מיודענו הפרופ' Brian Greene משתתפים בסרטון גם שלושה מדענים נוספים, אמנית, וכוהן דת הינדי.
למרות הגישות השונות מוסכם על המדענים שקצרו ידי המוח, החושים והאינטואיציה האנושית מלהציע פתרון לשאלת סופיות היקום : חקר היקום העמוק, החיצון, זה שמעבר ליקום הנראה יוכל להתבצע כנראה רק בעזרת כלים מתמטיים. ועדין, גם אם החזון הזה יתגשם, אין פירוש הדבר שנוכל להבין – אולי נוכל רק לגשש באפילה! יש תרגום אוטומטי לאנגלית.
סרטון 2 . אל האינסוף ומעבר לו
הרצאה מחכימה בעברית של פרופ' שירי ארטשטיין מאוניברסיטת תל אביב שמציגה בתמציתיות את התפיסה המתמטית של האינסוף.
גם בפרק הבא נוסיף לעסוק בנושא האינסוף תוך הבהרת מושגים שהופיעו במהלך הצפייה בסרטונים.
נסיים בשיר אינסופי של המשורר יהודה עמיחי. ]מתוך: שלווה גדולה : שאלות ותשובות, עמ' 100]
שיר אינסופי
בתוך מוזיאון חדיש / בית כנסת ישן ,
בתוך בית הכנסת / אני ,
בתוכי / לבי ,
בתוך לבי / מוזיאון ,
בתוך המוזיאון / בית כנסת ,
בתוכו אני ,
בתוכי / לבי,
בתוך לבי / מוזיאון.
******************************************************************************************
מתמטיקה בכיף 3/2020
על קבוצות אינסופיות
איינשטיין נהג לומר שישנם כנראה שני דברים שהם אינסופיים – היקום והטיפשות האנושית, ושבעניין הדבר הראשוו הוא לא כל כך בטוח😇. כבר היוונים הקדמונים ידעו שישנם אינסוף מספרים ראשוניים (אוקלידס, המאה השלישית לפנה"ס). גליליאו גליליי (1564-1642) הראה שקבוצה אינסופית של מספרים יכולה להיות "שוות גודל" לקבוצה חלקית ממש שלה.
למשל, קבוצת המספרים הטבעיים,
} 1, 2, 3, 4, …, N,… }
היא "שוות גודל" לתת-הקבוצה שלה שכוללת רק את המספרים הזוגיים,
} 2, 4, 6, 8, …, 2N,… }
דוגמה נוספת : סופר שחי אינסוף שנים ונוהג לתעד בשקדנות את תולדות חייו. לתיאור של כל יום בחייו נדרשת לו שנה שלמה. נשאלת השאלה : האם יצליח הסופר לתאר את חייו במלואם? התשובה לכך היא חיובית, בהתחשב בכך שחייו אינסופיים !
דוגמאות כאלה ואחרות מראות שנדרשה שיטה חדשה ושונה, לקביעת "גודל'ן' של קבוצה אינסופיות.פריצת הדרך נעשתה על ידי המתמטיקאי הגרמני-יהודי גיאורג קנטור (1845-1918) שעבודותיו הניחה את היסודות לתובנות מהפכניות בתחום הלוגיקה והפילוסופיה של המדע. הרעיון החדשניי של קנטור היה לייחס לכל קבוצה את "גודלה" באמצעות מושג העוצמה, cardinality.
שתי קבוצות הן שוות "גודל' , דהיינו שוות עוצמה, אם יש ביניהן התאמה הדדית דו-צדדית מושלמת : לכל חבר באחת הקבוצות מותאם חבר יחיד בקבוצה השנייה וגם להפך.
עבור קבוצה סופית עוצמת הקבוצה זהה למעשה לגודל הקבוצה, כלומר למספר החברים בקבוצה. מושג העוצמה מהווה הרחבה של מושג המספר (הסופי) ולמעשה מחליף אותו. קבוצת המספרים הטבעיים { 1, 2, 3, 4, …, N,… } היא בעלת העוצמה האינסופית הקטנה ביותר שמסומנת כאלף אפס – 0א. קבוצה שעוצמתה היא 0א נקראת קבוצה בת-מנייה, countable.
להלן נציג שלושה סרטונים קצרים וממצים להבהרת המושגים והרעיונות לעיל.
סרטון 1 . עד כמה גדול הוא האינסוף?
הסרטון מציג בצורה תמציתית את הרעיונות החדשניים לזמנם של גיאורג קנטור. יתברר כאן למרבה הפלא שהעוצמה של קבוצת המספרים הרציונליים גם היא 0א (מספר רציונלי ניתן להצגה כמנה, m/n של שני מספרים שלמים m ו n). הפליאה מקורה בכך שבניגוד למספרים הטבעיים הבדידים, כלומר מרווחים ו"מרוחקים" זה מזה, הרי שהמספרים הרציונלײַם צפופים וקרובים זה לזה ככל שנרצה ולמרות זאת לשתי הקבוצות אותו "גודל" אינסופי – הן בנות מנייה!
נכיר גם את שיטת האלכסון שגילה קנטור. ממנה נובע כי c, עוצמת קבוצת כל המספרים הממשיים על הקו הישר, גדולה מעוצמת קבוצת המספרים הרציונליים, 0א . כמו כן נפגוש את השערת / שאלת הרצף : האם בין שתי העוצמות האינסופיות 0א ו c קיימת עוצמת ביניים? להשערה זו שנחשבה כבלתי פתירה במשך זמן רב נמצא בסופו של דבר תשובה מזהירה אך לגמרי לא פשוטה. נשתדל להסביר אותה בהמשך.
סרטון 2 . האינסוף גדול יותר ממה שחושבים
בסרטון מדברים על רעיון האינסוף ומשווים בין גדלים של קבוצות אינסופיות שונות.
יש תרגום לעברית.
סרטון 3. פרדוקס המלון האינסופי של הילברט
בסרטון זה מונפשת בצורה משועשעת ההוכחה לכך שקיימת התאמה מושלמת בין הקבוצה האינסופית A של המספרים הטבעיים לבין קבוצה אינסופית של קבוצות אינסופיות זהות ל A . יש תרגום לעברית.
******************************************************************************************
*****************************************************************************************
מתמטיקה בכיף 5/2020
האפס למול האינסוף
בפרקים הקודמים עסקנו באינסוף ובקבוצות אינסופיות. מובטח שעוד נשוב ונעסוק באלה שכן אין להם שיעור וסוף. המעבר מהאינסוף כולל-הכול אל ניגודו – האפס- הריק-האין , הוא טוטאלי אבל טבעי ומתבקש – הכל מול לא כלום.
לכאורה, אפס ואינסוף נמצאים בקצוות מנוגדים של תפיסתנו הכמותית. מצד שני, הם דומים מבחינת העומק הנדרש והקושי להשיגם בתפיסתנו. על הקשר האמיץ בין אפס לאינסוף אפשר ללמוד למשל מתוך סידרת המספרים הבאה {1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ..,1/n, … } . כאן ככל ש n יגדל הגודל ההופכי n/1 יקטן וילך ולמעשה יהיה קרוב לאפס ככל נרצה.
באופן סימבולי מסמנים
0=∞/𝟏
חישובים של התקרבות כל כך מדויקת, כחוט השערה ופחות ממנה, מתאפשרים רק בזכות מערכת המספרים שבה אנו משתמשים כיום. חשוב לדעת שלא תמיד היו הדברים כך! למרות שעבורנו מושג האפס הוא ברור, שהרי גדלנו על ברכיו, צריך לדעת שנדרש לאנושות זמן רב עד להמצאת הסיפרה 0 ( הכוונה לא כמספר מונה, number אלא כספרה מציינת, numeral) לצורך ייצוג מספרים. מבדילים בין האפס כגודל, כמות זערורית בלתי קיימת לבין השימוש בו לייצוג ספרתי במערכת המספרים.
סרטון 1. היסטוריה קצרה של מערכות מספרים
בסרטון הראשןן מוצגות מערכות מספרים מבוססות מיקום כגון המערכת העשרונית שלנו או המערכת הבינרית שמנצלת רק את הספרות 0 ו 1 ובה משתמשים במחשבים האלקטרוניים.
האפס, 0, מציין העדר או נוכחות של סיפרה במיקום כלשהוא בייצוג העשרוני של מספר נתון. בלעדיו היו למשל המספרים השונים 500302 , 50032 , 50302 , 5302 , 5032 , 532 נכתבים באותה צורה.
לסרטון יש תרגום לעברית.
המפה יחד עם ציר הזמן להלן מתעדים את מיקום ומועדי המצאת הסיפרה אפס .
מוצגים גם הסמלים בהם השתמשו לפני המעבר לסימון 0 הנוכחי.
סרטון 2. איך מבינים מהו אפס
הסרטון מתמקד במושג האפס ומנתח את הסיבות לכך שילדים צעירים מתקשים בהבנתו. מוצגים ארבעה שלבים הבנה עוקבים שצריכים להתרחש במוחנו בדרך להבנת האפס ויחסיו ההדדיים עם המספרים האחרים.
בסרטון מראים כיצד מאמנים דבורים לתפיסה כמותית של האפס. מוצגת השאלה אם ואיך ניתן ליישם את האימון גם לטובת ילדינו. יש כתוביות באנגלית.
סרטון 3. למה אסור לחלק באפס
פשוטו כמשמעו , ברור ועם תרגום לעברית.
******************************************************************************************
מתמטיקה בכיף 6/2020
עוד על האפס
ראינו שסיפרת האפס ,0, היא אחת ההמצאות החשובות בדברי ימי האנושות המודדת, המשווה ומנסה לפענח נסתרות. בעזרת האפס, 0, מתאפשר תיאור מדוייק של גדלים וכמויות – בכלל זה מספרי ענק, דוגמת הגוגול , googol , 10¹⁰⁰, ובה בעת גם מספרים קטנים לאין שיעור דוגמת 1/10¹⁰⁰, (10 בחזקת 100-).
אגב, הגוגל –google הכל-יכול הנוכחי נקרא כך בטעות. אבותיו התכוונו בעצם לכנות אותו גוגול על שם המספר הענק. 😊 ובכלל, מאז ומתמיד ידוע כי חשיבותו של האחד נקבעת על פי מספר האפסים שנמצאים לימינו . 😊
סרטון 1. גילוי האפס בהודו הקדומה
טיול עם פרופ' מרקוס דו סוטוי למקדש ווישנו שבמדינת Madhya Pradesh במרכז הודו. בכתובות על קיר המקדש, משנת 876, מצויינות שתי ספרות 0 מעוגלות ( במספרים 50 ו 720 שמתייחסים למספר זרי הפרחים ומידות הערוגות שהניבו אותן בשנה נדונה). דו סוטוי, מחבר רבי המכר "המוזיקה של המספרים הראשוניים", ו"סימטריה", גם מסביר למה סיפרת האפס זכתה להיות עגולה.
לדעתו הסיבה לכך שדווקא ההודים הם שהמציאו את סיפרת האפס נעוצה בליבת דת ההינדו. על פי תפיסתה היקום האינסופי נוצר מאַיִן והתאיינות היא היעד הסופי של בני האנוש.
יש כתוביות באנגלית
סרטון 2. האם אפס הוא מספר זוגי?
התשובה היא כמובן כן! מספר שלם כלשהו n הוא זוגי , even, אם
הוא מתחלק ב 2 ללא שארית, והרי 0 = 0/2.
הסרטון החביב מבהיר קשיים שמתעוררים בכ"ז סביב הנושא. יש כתוביות באנגלית.
סרטון 3. זהירות ,אפס לפניך!
סרטון זה, גם הוא בחסות חבורת numberphile המקסימה, מצביע על בעייתיות שיש בטיפול לא זהיר בביטויים כגון 0/0 או 0⁰ .
בסרטון מניחים את ידיעת מושג הגבול וכן היכרות עם מספרים מרוכבים, complex numbers. אין כוונתנו בכך להרתיע את הקוראים. מומלץ לצפייה לכולם! יש תרגום לעברית.
לסיום ואחרי שחזרנו והדגשנו שהאפס הוא בגדר המצאה אנושית הנה דיון חשוב בשאלה אם המתמטיקה היא תגלית או המצאה של המוח האנושי.
סרטון 4 . סיר רוג'ר פנרוז: המתמטיקה – המצאה או תגלית?
המדען הדגול רוג'ר פנרוז – חתן פרס נובל לפיזיקה לשנת 2020 מדבר על יכולתה המופלאה של מתמטיקה לדייק בתיאור המאקרו-קוסמוס והמיקרו-קוסמוס גם יחד.
כשמציגים נכונה את הנתונים הפיזיקליים, נותנת המתמטיקה שיקוף מופלא של המציאות ובדיוק שהוא בל ייאמן. זאת מתמטיקה שקיימת מעולם, !'It's out there, כדבריו, ובוודאי שאינה מומצאת!
יש כתוביות באנגלית.
הערה של פנרוז לגבי אינסוף : הטענה "מספר זוגי+מספר איזוגי = מספר איזוגי " היא דוגמה לטענה כוללנית התקפה בבת אחת על אינסוף מספרים. בכלל במתמטיקה לא פוחדים מהאינסוף. ההוכחות באינדוקציה מתמטית הן דוגמה מצוינת לכך.
******************************************************************************************
מתמטיקה בכיף 7/2020
מקטן ועד גדול -החיים בין האפס לאינסוף
עסקנו כאן בגבולות התפיסה הכמותית האנושית דרך מושגי האינסוף – והאפס- 0. בהמשך נרצה להכניס קני מידה אנושיים -פיזיקליים לצורך התיייחסות לגודלי הקיצון הללו.
נזכיר שמצד אחד דיברנו על עוצמות – גדלים של קבוצות אינסופיות. יש אינסוף עוצמות אינסופיות כאלה, האחת גדולה מחברתה, כולן מדומיינות ונמצאות בספירה של תורת הקבוצות המתמטית. מצד שני עסקנו גם באפס, 0, ובתפקידו הכפול (כשומר מקום וכערך מספרי) במערכות מספרים עשרוניות ובינריות.
כדי לתאר גודל M קטן והולך ל 0, אומרים שהוא שואף לאפס ומסמנים
M→0.
זהו כמובן תהליך מופשט – אידיאלי שמניח את קיומם של גדלים הקרובים לאפס כרצוננו.
כפי שנראה להלן אין אפשרות מעשית לממש קירבה אידיאלית כזאת בעולם הפיזיקלי . חוקי הפיזיקה קובעים את קיומו של קבוע אורך אוניברסלי מינימלי , Lp, אורך פלנק, ואין ביקום אורכים קטנים ממנו.
סרטון 1. מדוע אורך פלנק , LP, הוא המרחק הקצר ביותר ביקום? וגם כמה זעיר הוא האפס?
בסרטון מצוין זה מוסבר מדוע קיים חסם תחתון , Lp, Planck length, עבור אורכים ומרחקים ביקום. בסרטון מדורגים בסדר הולך ויורד הגדלים של המרכיבים של עולמנו. כך למשל רדיוס גרעין האטום הוא מסדר גודל של 1/10¹⁵מ' בעוד שרדיוס האטום שכולל אותו נמדד בסדרי גודל של 1/10¹⁰ מ'. מידות אלה מצידן הן גדולות לאין שיעור מאורך פלנק, שהוא כאמור האורך הקטן ביותר האפשרי ביקום, 1.6/10³⁵ מ' = Lp.
את הסרטון מגיש הפיזיקאי והמסביר המצויין Arvin Ash . יש כתוביות באנגלית.
סרטון 2. איך לדמיין אינסוף? והאם היקום אינסופי?
סרטון זה הוא המשך ישיר של הסרטון הקודם. Arvin Ash משמש גם כאן כמדריך שלנו, הפעם לגלקסיות.
בסרטון מובאת וויזואליזציה מצויינת של היקום הנראה. נעשה שימוש בקני מידה "אנושיים" , כאלה שהם בהישג ידינו ומוחנו בדרך אל חוויית האינסוף. ההצגה נעשית בצעדי הגדלה של פי 1000 במעבר מחלון הצצה אחד למשנהו. גם שאלת סופיות/אינסופיות היקום נדונה כאן בבהירות רבה אבל נותרת פתוחה.
יש כתוביות באנגלית.
סרטון 3. כוחם הנסתר של הביטויים הלא מוגדרים
המתמטיקאי הגרמני-אוסטרלי Burkard Polster, יליד 1965, מנהל את האתר Mathologer בדקדקנות ובחביבות רבה. היכולות הגרפיות-וויזואליות המוצגות באתר זה הן מרשימות ביותר.
הסרטון הנוכחי עוסק בביטויים לא מוגדרים – indeterminate, דוגמת ∞ / ∞ , 0/0 , ⁰∞ , 0 וכד', שעבורם נדרשת זהירות כפולה ומכופלת בחישוב. זאת מכיוון שלתוצאות החישוב שלהם אין תשובה יחידה – מתקבל מגוון ערכים בתלות בנתונים הספציפיים.
נדגים כאן למשל את אי האפשרות לקבוע ערך יחיד עבור הביטוי ∞/ ∞:
עבור ערכי N טבעיים השואפים, הולכים וגדלים לאינסוף, ∞ → N , מקבלים
N/N → 1
2N/N → 2
N/N² →0
∞→ N²/N
וכו'. למעשה ניתן לקבל כל ערך שהוא כמנה מהטיפוס ∞/ ∞.
לסרטון יש תרגום לעברית.
******************************************************************************************
מתמטיקה בכיף 8/2020
על האחד ושבריו
הראינו בפרקים הקודמים כי השתקפות המציאות במוחנו מציבה את האפס והאינסוף כאידאות לא מושגות וגם הצבענו על הפער שבין מושגי ה 0 ו ה ∞ המופשטים לבין ייצוגם המתמטי בפועל.
בין שני ערכי קיצון אלה אנו מוצאים את האחד, המספר 1, כשלם העומד בזכות עצמו כיחידה בודדת. מצירוף של יחידות בודדות זו לזו נוצרים המספרים הטבעיים … ,n,… 1,2,3,4,5. על ידי חיסורם אלה מאלה מתקבלים גם המספרים השליליים וביחד הם מהווים את כלל המספרים השלמים. מהכפלתם וחילוקם מתקבלים המספרים הרציונליים, אלה שניתנים להיכתב כשברים מהצורה m/n, כש- m ו-n מספרים שלמים. כך מתאפשר תיאורם של גדלים הולכים וקטנים ל 0. בהמשך מורחבת המערכת לכלל המספרים הממשיים ואחריה אל המספרים הקומפלכסיים. זהו בתמצית תיאור התפתחותה ההיסטורית של מערכת המספרים שלנו.
המספר 1, המייצג המופשט של עצם בודד, הוא אבן היסוד עליה מושתת מרחב המספרים כולו .
לסיכום הנה אנקדוטה מתמטית ששמעתי כסטודנטית מפי הפרופ' ישעיהו ליבוביץ' ולא שכחתי. נראה שהקסימה אותי בזמנו. לטענת ליבוביץ' ניתן לראות במשוואה
X² = X
את המשוואה הסימבולית של מצב הקיום האנושי. נשים לב לכך שפתרונותיה (למרות שזו משוואה ריבועית ישנם למרבה הפלא שלושה(!) – אליבא דליבוביץ') הם בדיוק שלושת הישויות שבהן שבהן עסקנו כאן, ∞ = X , 1 = X ,0 = X , דהיינו האפס, האינסוף והאחד שביניהם.
סרטון 1 . האם אחד הוא אחד ? על ריבוי הפנים של 1
הסרטון מטפל במושג האחד כיחידה , unit, וביכולת המשולבת שנדרשת ממוחנו במעבר הלוך ושוב מתפיסת האחד כשלם – לאפשרות פירוקו ליחידות משנה. קושי דומה קיים גם בכיוון ההפוך, כשמקבצים תת-יחידות ושברים לצורך הבנייה מחדש של השלם.
מכאן קל להבין מדוע הוראת נושא השלם וחלקיו בכיתות הנמוכות של בית הספר, ובהמשך הקניית השימוש באחוזים, ערך משולש וגם הכפל והחילוק של שברים, מציבים קושי לא קטן בפני תלמידים רבים.
לסרטון יש תרגום לעברית .
סרטון 2 . כמה זה (2+1)6:2 ? סדר ביצוע פעולות החשבון.
סרטון שימושי שמציג את ההסכמות לגבי סדר הצעדים הנדרש לביצוע החישוב של ביטוי אריתמטי נתון. סדר הקדימויות הוא על פי ראשי התיבות
סוגה-כוח-חוח© : סוגריים, העלאה בחזקה, כפל וחילוק (משמאל לימין) חיבור וחיסור (משמאל לימין).
ובאנגליתPEMDAS: Parentheses, Exponents, Multiplication and Division (from left to right), Addition and Subtraction (from left to right)
לסרטון יש תרגום לעברית.
מתמטיקה בכיף 9/2020
מספרים על 𝝅
בשבוע האחרון התמלאו מסכי הטלוויזיה שלנו בטורים ארוכים של מספרים, עקומות וסטטיסטיקות משוות. שמעתי את שדרני ה CNN קוראים להכיר במציאות החשבונית ולהכריז על הנשיא הנבחר באמירה "I suggest that they accept math". בימים רוויי ידיעות שווא טוב לדעת שעדיין יש על מי לסמוך, לפחות לעת עתה.
בפרק הקודם הוצגה היחידה הבודדת המסומנת 1 כאבן הבניין של מערכת המספרים המוכרת. הפעם נתמקד במספר 𝝅 .
𝝅 שערכו בערך 3.1415 מייצג את היחס הקבוע שבין היקף המעגל לקוטרו, והוא בסיס הנוסחאות לחישוב שטח המעגל וגם לחישוב הנפח ושטח הפנים של הכדור. התרבויות הקדומות כבר הכירו וידעו לתאר אותו במקורב כשבר. בתנ"ך, בספר מלכים ז', כ"ג הוא מוערך כ 3 . בסוף המאה השלישית לפנה"ס שיכלל ארכימדס את חישובו המקורב והראה כי ערכו של 𝝅 הוא בין 22/7 ובין 223/71. זה איננו מספר רציונלי – כלומר לא ניתן לרשום אותו כמנה של שני מספרים שלמים (הוכח בשנת 1761). לכן הפיתוח העשרוני שלו אינו סופי ואף אינו מחזורי. גם איננו שורש של משוואה אלגברית פולינומיאלית שמקדמיה הם מספרים שלמים (הוכח בשנת 1882). מספר כזה נקרא טרנסצנדנטלי .למעשה מרבית המספרים על ציר המספרים הם מטיפוס זה. במיוחד יוצא מהנ"ל שלא ניתן באמצעות בנייה בסרגל ומחוגה לבנות ריבוע שיהיה שווה בשטחו לעיגול נתון . מכאן שהבעייה הגיאומטרית העתיקה, בעיית ריבוע העיגול, נפתרה בשלילה.
סרטון 1. קיצור תולדות
סרטון עתיר המחשות וויזואליות שהוכן ומוצג על ידי סיימון קלארק המצויין. בסרטון מתוארות השיטות והרעיונות שהביאו לדיוק הולך וגדל בחישוב החל מדיוק של 0.04% שהשיג ארכימדס ועד לשיאי עולם עדכניים בחישוב מספרים אסטרונומיים של ספרות אחרי הנקודה העשרונית. השיא הנוכחי שנקבע ב 29.1.2020 עומד על חישוב 50 טריליון הספרות הראשונות (טריליון = 1012)!!
בד בבד מוצגת כאן באופן תמציתי ומרתק התפתחות שיטות החישובים המקורבים. למעשה לפנינו לא רק ההיסטוריה של אלא גם של החשיבה החישובית המתפתחת.
בין היתר מוזכרים מונחים כגון: קירוב – approximation , חישוב – computation ,
הקף – circumference, קוטר – diameter , מספרים מרוכבים – complex numbers ,
התכנסות – convergence, סדרות אינסופיות – infinite series , יחס – ratio.
בסרטון חמישה פרקים : 1. הקדמונים ; 2. רעיונות חדשים – שימוש בביטויים אלגבריים ; 3. סדרות אינסופיות ; 4. המפץ הדיגיטלי ; 5. למה צריך את זה?
ישנן כתוביות באנגלית טובה.
. https://youtu.be/1-JAx3nUwms
סרטון 2. בארבע אצבעות
סרטון חביב שמראה שאפילו בסדרה האהובה "משפחת סימפסון" מתייחסים למספר ברצינות. מי שמופיע בסרטון הוא כותב רבי-המכר סיימון סינג, פיזיקאי בהשכלתו שהקדיש ספר שלם לנושא "הסודות המתמטיים של הסימפסונים" . סינג כתב בין היתר גם את הספרים הפופולריים "המשפט האחרון של פרמה" ו "סודות ההצפנה" .
יש כתוביות אוטומטיות באנגלית.
****************************************************************************************
מתמטיקה בכיף 10/2020
המספר ואגדת ראמאנוג'אן
המספר החשוב 𝝅 , PI,… 3.14159 = 𝝅 זוכה לשלל חישובים מקורבים ולכבוד.
את יום הפיי –day PI, חוגגים לאחרונה מדי שנה בתאריך ה 3.14 שהוא ה 14 למרץ כמקובל בשיטה האמריקאית. גושפנקה רשמית לכך התקבלה ב 2019 גם מארגון UNESCO . ביום ה 𝝅 יש לשבח ולהלל את 𝝅 ודרכו לקרב לבבות למתמטיקה בפרט ולמדע בכלל. עושים זאת תוך כדי אכילת פשטידות ,PIES , והרמת כוסית, רצוי בשעה 1:59 אחה"צ בכדי להתקרב ככל שניתן למספר הנחשב. מסיבות דומות יש החוגגים גם את התאריך 22/7 ~ 3.1428 כיום הקירוב – approximation day – למספר 𝝅.
היכולת הנוכחית לחשב את π ביעילות ובדיוק הבלתי נתפס של טריליוני ספרות אחרי הנקודה העשרונית נזקפת במידה רבה לזכותו של המתמטיקאי ההודי הגאוני ראמאנוג'אן ,Ramanujan . סיפור חייו נשמע כאגדה שלידתה בארצות החלום.
סריניוואסה ראמאנוג'אן נולד ב 1887 בסמוך לעיר מאדראס ,כיום Chennay שבדרום הודו למשפחה ברהמינית ענייה. מילדותו בלט כעילוי מתמטי. למרות זאת נאלץ להפסיק את לימודיו באוניברסיטה המקומית אחרי שנה בלבד. את ידיעותיו שאב מספר מתמטיקה עתיר נוסחאות מסובכות שמצא כנער בספרייה המקומית שאותו למד בעצמו בדבקות. במהלך לימודיו העצמיים מצא והוכיח הרבה תוצאות ידועות, מהן כאלה שנדרשו מאות שנות מחקר לגילוין.
ראמאנוג'אן לא הוכיח כמקובל את התוצאות שגילה מכיוון שלא קיבל חינוך מתמטי מסודר. הוא נהג לספר שאת התוצאות המתמטיות החשובות שלו קיבל בחלומותיו מידיה של אלילת המשפחה נאמאגירי !!
אלמלא מכתב ששלח ראמאנוג'אן למתמטיקאי האנגלי המפורסם הארדי, G. H. Hardy , אפשר שהישגיו המופלאים היו אובדים לנצח. הוא הוזמן להגיע לאנגליה וחי שם בשנים 1914-1919 בחסותו של הארדי. השהות הייתה פורייה אבל טראגית. הוא התקשה להסתגל לסביבה הזרה וחלה מאוד. ב 1920, זמן קצר אחרי שחזר להודו נפטר והוא בן 33 בלבד.
סרטון 1. חייו ופועלו של ראמאנוג'אן
כיום נישא שמו של ראמאנוג'אן בגאווה בפי כל ברחבי הודו הגדולה. הסרט הבריטי – The Man who Knew Infinity – האיש שידע אינסוף , מ 2016 , מתאר את חייו בדגש על מערכת היחסים שהתקיימה בינו לבין הארדי. בסרטון הנוכחי מובא סיפור חייו ופועלו של ראמאנוג'אן. יש כתוביות באנגלית.
סרטון 2 . ראמאנוג'אן והמספר 𝝅
סרטון מצוייר קצר ביותר על ראמאנוג'אן, הארדי והחלומות. יש כתוביות באנגלית.
סרטון 3. נוסחת ראמאנוג'אן לחישוב π
בסרטון מתוארת אחת מנוסחאות הפלא המשמשות לחישוב המדויק של 𝝅 תוך השוואה לנוסחה מקבילה (ופחות יעילה בסדר גודל) שמצא בזמנו לייבניץ. יש כתוביות באנגלית .
****************************************************************************************
מתמטיקה בכיף 11/2020
ריצוף פנרוז
ריצוף – tiling או tesselation – הוא כיסוי שלם של משטח באמצעות אריחים מסוג נתון ללא מרווחים וללא חפיפה. קיימים סוגי ריצוף מגוונים ביותר בבנייה, באמנות ובטבע כגון פסיפסי ריצפה, קירות אמנותיים מחופים, משטחי המשושים שבונות הדבורים בכוורת וכו'.
היופי והעניין שיש בריצופים השונים נובעים מתכונות הסימטריה המיוחדות של האריחים היוצרים ושל הדגמים הנבנים בעזרתם. רובם מצטיינים בתכונות של סימטריה סיבובית – rotational symmetry או סימטריה שיקופית –reflectional symmetry. ריצוף הוא מחזורי אם אפשר גם לבצע הזזה/העתקה – translation שלו לשני כיוונים לפחות מבלי שהפעולה תגרום לשינוי בדגם המקורי.
נדון כאן בריצופים השונים בדגש על ריצופי פנרוז– ריצופים לא מחזוריים שהתגלו בשנת 1973 ע"י רוג'ר פנרוז, חתן פרס נובל לפיזיקה לשנת 2020. ריצופי פנרוז נוצרים ע"י שימוש חוזר בזוג או ברביעיית אריחים שמקורם במחומש המשוכלל. בסה"כ ישנם שלושה סוגים כאלה, ר' להלן.
11 שנים מאוחר יותר, ב 1984, גילה דן שכטמן, לימים חתן פרס נובל, את הקוואזי-גבישים , quasi-crystals. למרבה הפלא הסתבר שהגבישים החדשים הללו מאורגנים במבנים המרוצפים הלא מחזוריים בעלי הסימטריה המחומשת שגילה פנרוז!!
נראה שכדי להבין את מה שרואות עינינו נדרש תחילה להמציא את השפה שתקרא לו בשם.
סרטון 1. מהו ריצוף (מתמטי)?
הסבר תמציתי בהשראת עבודות הריצוף המוכרות של האמן קורנליוס אשר, C. Escher. מודגש שישנן רק שלוש צורות גיאומטריות משוכללות שאיתן ניתן לרצף באריח בודד – משולש שווה צלעות, ריבוע ומשושה משוכלל. בנוסף לסימטריות שהזכרנו מדובר גם על סימטריה לגבי פעולת ה glide reflection – החלקה+שיקוף. יש כתוביות באנגלית בגוף הסרטון.
סרטון 2. קיצור תולדות הריצופים המחזוריים
סרטון מצוין הכולל סקירה של סוגי ריצוף "סימטריים" להעתקה-הזזה, דהיינו מחזוריים, בפרספקטיבה היסטורית. בין היתר ניתן ללמוד על השפעת אמנות הריצוף בתקופת הזוהר של האסלם בספרד על האמן Escher. יש כתוביות אוטומטיות באנגלית. הדובר רהוט וברור.
סרטון 3 : הריצוף הלא מחזורי של רוג'ר פנרוז
המשך ישיר לסרטון הקודם ובו תיאור ממצה של מרכיבי ריצוף פנרוז ותולדותיו. ראוי לציין את הנוכחות האסתטית של יחס הזהב בריצופי פנרוז – שורשיה במחומש המשוכלל ממנו נגזרים האריחים. יש כתוביות אוטומטיות באנגלית. הדובר רהוט וברור.
סרטון 4 . חיצים ועפיפונים – ריצוף פנרוז
תיאור בנופך אמנותי של ריצופי פנרוז שנוצרים באמצעות זוג האריחים המכונים חיצים ועפיפונים, Darts and Kites (ניתן לבנות אינסוף ריצופים כאלה!). יש תרגום לעברית בגוף הסרטון.
ואחרון חביב,
סרטון 5. איך לבנות ריצוף בעצמנו
מדריך לבניית ריצוף מחזורי דקורטיבי, פאזל אינסופי בפוטנציה, מריבועי נייר, מספריים ונייר דבק.
**************************************************************************************
מתמטיקה בכיף 12/2020
על משולשי פנרוז ומדרגות ESCHER –PENROSE
נמשיך לעסוק בנושא ריצופי המישור ונציג את משולש פנרוז ואת המדרגות המתעתעות שנולדו במוחם של רוג'ר פנרוז ואביו ליונל בהשראת האמן M. C. Escher ואף הונצחו בעבודותיו.
סרט 1. גבישים למחצה,quasi crystals – מוצקים מסוג חדש
בסרטון שהוכן ביפן ב 2015 מוצגת הסימטריה המחומשת המופלאה שמתגלה במבני הגבישים למחצה. בין המונחים המוזכרים: dodecahedron – תריסריון – גוף בעל 12 פאות מישוריות. alloys – סגסוגות. יש כתוביות באנגלית.
סרט 2. ריצופי פנרוז – מתמטיקה, גבישים וארכיטקטורה
פרופ' רוג'ר פנרוז מתאר כאן את האופן שבו הגיע צעד אחר צעד בשנים 1973-4 למציאת שיטות הריצוף הלא-מחזוריות שלו המבוססות על סימטריה מחומשת וחושף את יכולותיו החזותיות המעמיקות. ריצופי פנרוז זכו לפרסום רב הן בשל השימוש שנעשה בהם לחיפוי חדשני ויפהפה של משטחים והן עקב התאמתם המופלאה לצילומי הרנטגן של הגבישים למחצה, ה quasi crystals. פנרוז מציין שגם בריצופים המוסלמיים העתיקים מוצגות סימטריות מחומשות או מעושרות לרוב וכמו כן שיוהנס קפלר חקר ופרסם (1619) תבניות סימטריה וריצוף של מחומשים ועשרונים (מצולעים בעלי 10 צלעות) משוכללים.
אורך הסרטון כשעה. עד לדקה ה 30 סוקר פרופ' פנרוז את ההיסטוריה והגיאומטריה הפלאית של הריצוף שגילה. בדקות 35 – 30 מתוארת ההתאמה המופלאה של הריצוף למבני הגבישים למחצה. החל מהדקה ה 35 ועד לסוף הסרט מוצגות בצניעות כובשת לב דוגמאות מרהיבות של ריצופים באריחי פנרוז שנעשו באתרים מכובדים ביותר סביב העולם. יש כתוביות באנגלית.
בצילומים בראש העמוד הבא מוצגים חיפויי תקרות של ארמונות ומסגדים שצולמו באוזבקיסטן.
.
חיפויי תקרות בארמונות ומסגדים מוסלמיים באוזבקיסטן. שימו לב לעשרונים (10) המשוכללים בשלוש מהתמונות.
סרט 3. איך יוצרים ריצוף גיאומטרי מסורתי
הדגמה מפורטת של יצירת דוגמאות מסורתיות המופיעות על אריחים אמנותיים ברוח המסורת המוסלמית. הבנייה בסיסית – באמצעות מחוגה וסרגל בלבד. מומלץ בחום להשקיט את המוזיקה!
משולש פנרוז מתואר כגוף המורכב משלוש קורות ריבועיות ישרות ,תיבות ריבועיות,, היוצרות יחדיו משולש כך שהזווית בין כל שתי קורות היא בת 900. לפעמים מציירים את המשולש כך שהקורות מקוטעות ומחולקות לקוביות. משולש פנרוז קיים "על הנייר" אך אינו יכול להתקיים במציאות! המשולש הומצא בשנות השלושים של המאה הקודמת ע"י אמן שוודי ובאופן בלתי תלוי גם ע"י רוג'ר פנרוז בשנות ה 50. בדומה לו קיימים גם ריבועי ומחומשי פנרוז ובאופן כללי, מצולעי פנרוז.
סרט 4 . ללכת סביב משולש פנרוז
סרטון קצרצר ללא קול שממחיש את התעתוע שיש בהצגה הממשית כביכול של משולש פנרוז.
בעקבות המצאת משולש פנרוז ובשיתוף פעולה גם עם ליונל פנרוז, אביו של רוג'ר פנרוז ,שהיה פסיכיאטר וחוקר תודעה ידוע נוצרו ב 1958-9 מדרגות Escher Penrose-המתעתעות והמוכרות מציוריו של האמן הנודע Escher, ר' התמונה לעיל, משמאל .
ולבסוף ,לאוהבי האמן המיוחד Escher M. C. ולמביני דבר הנה הרצאה מיוחדת לכבוד האמן המיוחד שנושא פרופ' רוג'ר פנרוז, מי שיצר את משולש פנרוז, מדרגות פנרוז- Escher והריצוף הנקרא על שמו.
סרט 5. ESCHERMATICS -מתמטיקה נוסח Escher
פנרוז התלהב בשנות השישים המוקדמות מהעבודות נושאות הנופך המתמטי של האמן המיוחד Escher, כולל עיסוקו בגיאומטריה של משטחים ורמיזותיו לאינסוף. בהרצאה הזאת, מ 2018, הוא מדבר על הקשרים ביניהם, על יצירתו של Escher בראי המתמטיקה ועל ההשראה שתרמה לתובנות שלו ולבניית תמונת העולם והיקום שהאירה את דרכו המדעית עד לזכייתו בפרס נובל לפיזיקה לשנת 2020.
מומלץ ביותר לאוהבי השילוב שבין מתמטיקה, אמנות ושאר רוח!
יש כתוביות באנגלית .
***************************************************************************************
מתמטיקה בכיף 13 (26/12/2020)
קישור למאמר בנושא: "על חשבון השעון – אריתמטיקה מודולרית" כאן
***************************************************************************************
מתמטיקה בכיף 16 (10/1/2020)
קישור למאמר בנושא: "על גיאומטריות לא-אוקלידיות וגם על גיימינג וסריגת Crochet" כאן
***********************************************************************************
מתמטיקה בכיף 17 (19/1/2020)
קישור למאמר בנושא: "על מספרים מרוכבים ועל פישוט מורכבויות" לחץ/י כאן
*******************************************************************************
מתמטיקה בכיף 18 (6/2/2020)
קישור למאמר בנושא: "על מספר הקסם e ועל יופי מתמטי צרוף" לחץ/י כאן
*******************************************************************************
מתמטיקה בכיף 19/2021 (20/2/219ׁׂׂׂׂ) בנושא: "פרקטלים – יש סדר בכאוס, חלק א'" לחץ/י כאן
*******************************************************************************
מתמטיקה בכיף 20/2021 (21/3/2021) בנושא: "פרקטלים – יש סדר בכאוס, חלק ב'" לחץ/י כאן
*************************************************************************************
מתמטיקה בכיף 21/2021 (13/4/2021) בנושא: "פרקטלים – יש סדר בכאוס, חלק ג'" לחץ/י כאן
**************************************************************************************
מתמטיקה בכיף 22/2021 (8.6.2021) בנושא: משולשים – פלא שלא ייגמר לעולם – פרק א'" לחץ/י כאן
*************************************************************************************
מתמטיקה בכיף 23/2021 (5.7.2021) בנושא: משולשים – פלא שלא ייגמר לעולם – פרק ב'" לחץ/י כאן
******************************************************************************************
למתמטיקה בכיף 23/2021 (עודכן ב- 16.8.2021) בנושא:"עקרונות מתמטיים ועוד"
לחץ/י כאן
******************************************************************************************
